A limitation of the hydrostatic reconstruction technique for Shallow Water equations

English version: Because of their capability to preserve steady-states, well-balanced schemes for Shallow Water equations are becoming popular. Among them, the hydrostatic reconstruction proposed in [1], coupled with a positive numerical flux, allows to verify important mathematical and physical properties like the positivity of the water height and, thus, to avoid unstabilities when dealing with dry zones. In this note, we prove that this method exhibits an abnormal behavior for some combinations of slope, mesh size and water height. Version Française : Une limitation de la reconstruction hydrostatique pour la résolution du système de Saint-Venant. De par leur capacité à préserver les états d’équilibre, les schémas équilibres connaissent actuellement un fort développement dans la résolution des équations de Saint-Venant. En particulier, la reconstruction hydrostatique proposée dans [1], couplée à un flux numérique positif, permet de garantir certaines propriétés comme la positivité de la hauteur d’eau et, donc, d’éviter certaines instabilités pour traiter les zones sèches. Dans cette note, nous montrons que cette méthode présente un défaut pour certaines combinaisons de pente, taille de maillage et hauteur d’eau. Version française abrégée Les équations de Saint-Venant (1) posent des difficultés numériques spécifiques : préservation des équilibres stationnaires (flaques d’eau, lacs) et de la positivité de la hauteur d’eau. La reconstruction hydrostatique, introduite dans [1, 4], s’est imposée comme une méthode particulièrement adaptée. Elle fait partie de la classe des schémas dits équilibrés (well-balanced). Partant d’une méthode de volumes finis (2), dont le flux numérique F est adapté au système sans topographie, on reconstruit les variables u, h, h+z afin de préserver les équilibres. Laboratoire de Mathématiques J.A. Dieudonné UMR 7351 CNRS UNSA & Polytech Nice – Sophia, Université de Nice – Sophia Antipolis, Parc Valrose, F-06108 Nice cedex 02, France ; [email protected] MAPMO UMR CNRS 7349, Université Orléans, Bâtiment de mathématiques, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France INRA, UR 0272 Science du sol, Centre de recherche d’Orléans, CS 40001 Ardon, F-45075 Orléans cedex 2, France 1 ha l-0 07 10 65 4, v er si on 2 10 A ug 2 01 2